Annexe : l'indice de Gini - Tribulations & Bifurcations

1La courbe de Lorentz¶

1.1Définition¶

La courbe de Lorentz (figure 1) représente en abscisse la fraction de la population étudiée, et en ordonnée la fraction de richesse (ou de revenus ou d’une autre variable) : elle permet de visualiser les inégalités de répartition des richesses (par exemple) au sein d’une population donnée. La population est généralement répartie par classes ou par tranches de richesse. La courbe de Lorentz est la représentation de ces classes par ordre croissant : la première tranche de la population est la moins riche, la dernière, la plus riche. Par construction, la courbe de Lorentz est forcément sous la première bissectrice : si la courbe était au-dessus, on aurait les 50 premiers pourcents de la population qui auraient plus de richesses que la seconde moitié... La courbe de Lorentz est donc toujours croissante.

Principe de la courbe de Lorentz : la fraction cumulée de la
population est sur l’axe des abscisses ; la fraction cumulée des
richesses est sur l’axe des ordonnées. La droite en rouge, première
bissectrice, correspond à une égalité parfaite. La courbe en bleu
correspond à une population donnée. Le point A correspond à 20 %
de la population qui possède 10 % des richesses totales. Le point B
correspond à
88 % de la population possédant 80 % des richesses. — Figure 1:Principe de la courbe de Lorentz : la fraction cumulée de la population est sur l’axe des abscisses ; la fraction cumulée des richesses est sur l’axe des ordonnées. La droite en rouge, première bissectrice, correspond à une égalité parfaite. La courbe en bleu correspond à une population donnée. Le point A correspond à 20 % de la population qui possède 10 % des richesses totales. Le point B correspond à 88 % de la population possédant 80 % des richesses.

Sur ce graphe, la première bissectrice (Richesse = Population) correspond à chaque fraction de population ayant la même fraction des richesses. Il s’agit donc d’une égalité parfaite. Plus la courbe est proche de la première bissectrice plus la population est égalitaire. La courbe correspondant aux deux côtés du triangle d’hypothénuse la première bissectrice est celle du cas parfaitement inégalitaire où un individu possède toutes les richesses, tandis les autres n’en n’ont pas (Population < 1 avec Richesse = 0 et Population = 1 avec Richesse = 1).

1.2Exemple¶

Prenons un exemple avec les données du tableau 1 pour lesquelles nous allons tracer la courbe de Lorentz.

Table 1:Exemple d’une population et de ses richesses individuelles pour différentes classes arbitraires.

Classe	Nombre de personnes	Richesse par personne
classe 1	8	500
classe 2	15	1000
classe 3	17	2000
classe 4	11	3000
classe 5	9	5000
classe 6	13	8000
classe 7	4	10000

Ajoutons quelques colonnes à ce tableau, pour obtenir le tableau 2.

Table 2:Exemple d’une population et de ses richesses individuelles pour le tracé de la courbe de Lorentz.

Classe	Nombre de personnes	Nombre de personnes cumulée	Fraction de personnes cumulée	Richesse par personne	Richesse totale par classe	Richesse par classe cumulée	Fraction de richesse cumulée
classe 1	8	8	0,104	500	4000	4000	0,015
classe 2	15	23	0,300	1000	15 000	19 000	0,069
classe 3	17	40	0,520	2000	34 000	530 000	0,193
classe 4	11	51	0,662	3000	33 000	86 000	0,313
classe 5	9	60	0,779	5000	45 000	131 000	0,476
classe 6	13	73	0,948	8000	104 000	235 000	0,855
classe 7	4	77	1,000	10 000	40 000	275 000	1,000

La courbe de Lorentz consiste à tracer la colonne « fraction de personnes cumulées » en fonction de la colonne « fraction de richesse » (figure 2). La courbe montre que 50 % de la population ne possède que 18 % des richesses, tandis que l’autre moitié possède le reste, ce qui en fait une population très inégalitaire.

Courbe de Lorentz pour la population donnée dans le tableau %s. — Figure 2:Courbe de Lorentz pour la population donnée dans le tableau 2.

2L’indice de Gini¶

2.1Définition¶

L’indice de Gini mesure les inégalités d’une donnée (le revenu, la richesse ou autre) pour un population donnée : un indice de 0 indique une parfaite égalité (par exemple que tout le monde a la même quantité de richesses), un indice de 1 une parfaite inégalité (une personne dispose de toutes les richesses, les autres n’ont rien).

On peut le définir à partir de la courbe de Lorentz. Sur la [figure

\mathcal{G} = \frac{\mathcal{A}_{\text{rouge}}}{\mathcal{A}_{\text{rouge}}+ \mathcal{A}_{\text{bleu}}}

(1)

où $\mathcal{A}_{\text{rouge}}$ est l’aire en rouge entre entre la courbe de Lorentz pour une population donnée et celle pour une égalité parfaite (première bissectrice), et $\mathcal{A}_{\text{bleue}}$ est l’aire en bleu sous la courbe de Lorentz.

Sachant que : $\mathcal{A}_{\text{rouge}} = \frac{1}{2}-\mathcal{A}_{\text{bleue}}$ , on obtient aussi :

\mathcal{G} = 2\cdot \mathcal{A}_{\text{rouge}} = 1 - 2\cdot \mathcal{A}_{\text{bleue}}

(2)

2.2Exemple¶

Prenons l’exemple de la population du tableau 1 dont la courbe de Lorentz est reprise sur la figure 3. Pour exprimer l’indice de Gini à partir de l’équation (2), il faut calculer l’aire $\mathcal{A}_{\text{bleue}}$ sous la courbe de Lorentz. Cette aire est la somme des parallèlogrammes dont les coordonnées sont les $P_i$ , population dans la classe $i$ et les $R_i$ , richesse de la population $P_i$ dans la classe $i$ . Ces parallélogrammes correspondent à chaque tranche ou classe de richesse.

Ainsi :

\begin{aligned} \mathcal{A}_{\text{bleue}} &= \frac12 \left( P_1-P_O\right) \cdot \left(R_1- R_0\right) + \sum_{k=1}^{6} R_k \cdot \left(P_{k+1}-P_k \right) + \frac12 \left(P_{k+1}-P_k \right) \cdot \left(R_{k+1}-R_k \right) \\ &= \frac12 \left( P_1-P_O\right) \cdot \left(R_1- R_0\right) + R_0\cdot \left(P_1-P_0\right) + \sum_{k=1}^{6} R_k \cdot \left(P_{k+1}-P_k \right) + \frac12 \left(P_{k+1}-P_k \right) \cdot \left(R_{k+1}-R_k \right)\\ &= \left( P_1-P_O \right) \cdot \left( R_0 + \frac12 \left(R_1-R_0 \right) \right) + \sum_{k=1}^{6 }\left(P_{k+1}-P_k \right) \cdot \left( R_k + \frac12 \left(R_{k+1}-R_k \right) \right)\\ &= \sum_{k=0}^6 \left(P_{k+1}-P_k \right) \cdot \left(R_k + \frac12 \left(R_{k+1}-R_k \right) \right)\\ &= \frac12 \sum_{k=0}^{6 }\left(P_{k+1}-P_k \right) \cdot \left(R_k + R_{k+1}\right) \end{aligned}

(3)

Ce qui donne pour les 7 classes de richesse :

\mathcal{G} = 1 - 2\cdot \mathcal{A}_{\text{bleue}} = 1-\sum_{k=0}^{6 }\left(P_{k+1}-P_k \right) \cdot \left(R_k + R_{k+1}\right)

(4)

On généralise à $c$ classes de richesse :

\mathcal{G} = 1-\sum_{k=0}^{c-1}\left(P_{k+1}-P_k \right) \cdot \left(R_k + R_{k+1}\right)

(5)

avec $P_0 = R_0 = 0$ .

Le tableau 3 reprend l’exemple de la population du tableau 1. Les différents éléments de la relation (5) sont calculés pour les 7 classes de richesse. On obtient ainsi la valeur de l’indice de Gini pour cet exemple :

\mathcal{G} = 1 - 0,38 = 0,62

(6)

Table 3:Exemple d’une population et de ses richesses individuelles pour le calcul de l’indice de Gini à partir de la relation (5). $P_k$ est la fraction de population cumulée de la classe $k$ et $R_k$ est la fraction de richesse cumulée de la classe $k$ .

Classe	Nombre de personnes	Nombre de personnes cumulée	$P_k$	Richesse par personne	Richesse par personne cummulée	$R_k$	$P_{k+1} -P_k$	$R_{k+1} +R_k$	$(P_{k+1} -P_k)\cdot (R_{k+1} +R_k)$
classe 1	8	8	0,104	500	500	0,017	0,104	0,017	0,002
classe 2	15	23	0,300	1000	1500	0,051	0,196	0,068	0,013
classe 3	17	40	0,520	2000	3500	0,119	0,220	0,170	0,037
classe 4	11	51	0,662	3000	6500	0,220	0,162	0,339	0,055
classe 5	9	60	0,779	5000	11 500	0,390	0,117	0,610	0,071
classe 6	13	73	0,948	8000	19 500	0,661	0,169	0,700	0,118
classe 7	4	77	1,000	10 000	29 500	1,000	0,052	1,661	0,086
total	77			29 500					0,38